Question

9．（1）设a≥b＞0，证明：3a³+2b³≥3a²b+2ab²；
（2）已知|a|＜1，|b|＜1，证明|1-ab|＞|a-b|．

Answer 1

分析 （1）直接利用作差法，再进行因式分解，分析证明即可．
（2）直接利用作差法，结合平方、开方，然后分析证明即可．

解答 证明：（1）3a³+2b³-（3a²b+2ab²）=3a³-3a²b+2b³-2ab²=3a²（a-b）+2b²（b-a）=（3a²-2b²）（a-b）．
因为a≥b＞0，
所以a-b≥0，3a²-2b²≥0，
从而（3a²-2b²）（a-b）≥0，
即3a³+2b³≥3a²b+2ab²．
（2）∵|1-ab|²-|a-b|²=1+a²b²-a²-b²=（a²-1）（b²-1）．
∵|a|＜1，|b|＜1，
∴a²-1＜0，b²-1＜0．
∴|1-ab|²-|a-b|²＞0，
故有|1-ab|＞|a-b|．

点评 本题考查不等式的证明，作差法的应用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．