Question

20．长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=1，D₁C与平面ABCD所成的角为30°，BC₁与BC所成的角为45°，则二面角D₁-AC-B的正切值为$-\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 如图所示，由长方体的性质可得：可得∠DCD₁是D₁C与平面ABCD所成的角，CC₁⊥BC．在Rt△DCD₁中，利用tan30°=$\frac{D{D}_{1}}{DC}$，可得得DC．在Rt△BCC₁中，tan45°=$\frac{C{C}_{1}}{BC}$，解得BC．作DE⊥AC，连接D₁E，则AC⊥D₁E．可得∠DED₁是二面角D₁-AC-D的平面角．在Rt△ADC中，可得DE，可得tan∠DED₁=$\frac{D{D}_{1}}{DE}$．由图可知：二面角D₁-AC-B与二面角D₁-AC-D互补，即可得出二面角D₁-AC-B的正切值．

解答 解：如图所示，
由长方体的性质可得：DD₁⊥平面ABCD，CC₁⊥平面ABCD，
∴∠DCD₁是D₁C与平面ABCD所成的角，CC₁⊥BC．
在Rt△DCD₁中，tan30°=$\frac{D{D}_{1}}{DC}$=$\frac{1}{DC}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}$，解得DC=$\sqrt{3}$．
在Rt△BCC₁中，tan45°=$\frac{C{C}_{1}}{BC}$=$\frac{1}{BC}$=1，解得BC=1．
作DE⊥AC，连接D₁E，则AC⊥D₁E．
∴∠DED₁是二面角D₁-AC-D的平面角．
在Rt△ADC中，DE=$\frac{AD×DC}{AC}$=$\frac{AD×DC}{\sqrt{A{D}^{2}+D{C}^{2}}}$=$\frac{1×\sqrt{3}}{\sqrt{{1}^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴tan∠DED₁=$\frac{D{D}_{1}}{DE}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
由图可知：二面角D₁-AC-B与二面角D₁-AC-D互补，
∴二面角D₁-AC-B的正切值为$-\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故答案为：$-\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了空间角、线面垂直的判定与性质定理、直角三角形的边角关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．