Question

9．已知函数f（x）=|2x+1|-|x-2|．
（1）求不等式f（x）＞0的解集；
（2）若不等式|m+1|≥f（x）+3|x-2|有解，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）不等式f（x）＞0，即|2x+1|-|x-2|＞0，由不等式|2x+1|＞|x-2|两边平方化简，即可求不等式f（x）＞0的解集；
（2）若不等式|m+1|≥f（x）+3|x-2|有解，即|m+1|≥|2x+1|+|2x-4|有解．设g（x）=|2x+1|+|2x-4|，则问题可转化为|m+1|≥g（x）_min，即可求实数m的取值范围．

解答 解：（1）不等式f（x）＞0，即|2x+1|-|x-2|＞0，
由不等式|2x+1|＞|x-2|两边平方化简得：（3x-1）（x+3）＞0
解得：x＜-3或$x＞\frac{1}{3}$，
所以不等式f（x）＞0的解集为$\left\{{x\left|{x＜-3\;或\;x＞\frac{1}{3}}\right.}\right\}$．…（5分）
（2）由条件知，不等式|m+1|≥f（x）+3|x-2|有解，即|m+1|≥|2x+1|+|2x-4|有解．
设g（x）=|2x+1|+|2x-4|，则问题可转化为|m+1|≥g（x）_min，
而g（x）=|2x+1|+|2x-4|≥|2x+1-2x+4|=5，
由|m+1|≥5解得：m≤-6或m≥4，
所以a的取值范围是（-∞，-6]∪[4，+∞）．…（10分）

点评 本题主要考查绝对值的意义，函数能成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．