Question

在数列a_n中，a₁=0时，且对任意k∈N^*，a_2k-1，a_2k，a_2k+1成等差数列，其公差为2k．
（1）求a₂，a₃，a₄；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）记Tn=

22

a2

+

32

a3

+…+

n2

an

，证明：当n为偶数时，有

3

2

＜2n-Tn≤2(n≥2)．

Answer 1

分析：（1）利用a₁=0时，且对任意k∈N^*，a_2k-1，a_2k，a_2k+1成等差数列，代入计算，可求a₂，a₃，a₄；
（2）观察已知条件可得a_2k+1-a_2k-1=4k，利用累加法a_2k+1=a₁+（a₃-a₁）+（a₅-a₃）+…+（a_2k-1+a_2k-3）可求出a_2k+1，从而可得数列的通项；
（3）确定数列的通项，利用分组求和法，即可证得结论．

解答：（1）解：由题设，可得a₂=a₁+2=2，a₃=a₂+2=4，a₄=a₃+4=8；
（2）解：由题意可得a_2k+1-a_2k-1=4k，k∈N₊，
所以a_2k+1-a₁=（a_2k+1-a_2k-1）+（a_2k-1-a_2k-3）+…+（a₃-a₁）=4k+4（k-1）+…+4×1=2k（k+1）
由a₁=0，得a_2k+1=2k（k+1），从而a_2k=a_2k+1-2k=2k²，a_2k+2=2（k+1）²
于是数列{a_n}的通项公式为an=

n2-1 2 ，n为奇数 n2 2 ，n为偶数

；
（3）证明：由（2）知，当n为偶数时，

n2

an

=

n2

n2 2

=2
当n为奇数时，

n2

an

=

n2

n2-1 2

=2+(

1

n-1

-

1

n+1

)
n=2时，2n-T_n=4-2=2，不等式成立
当n为偶数且n≥4时，
Tn=

22

a2

+

32

a3

+…+

n2

an

=(

22

a2

+

42

a4

+…+

n2

an

)+[

32

a3

+

52

a5

+…+

(n-1)2

an-1

]
=

n

2

×2+(

n

2

-1)×2+(

1

3-1

-

1

3+1

)+…+[

1

(n-1)-1

-

1

(n-1)+1

]=2n-2+

1

2

-

1

n

=2n-

3

2

-

1

n

∴2n-Tn=

3

2

+

1

n

∴

3

2

＜2n-Tn=

3

2

+

1

n

＜

3

2

+

1

4

＜2
综上，当n为偶数时，有

3

2

＜2n-Tn≤2(n≥2)．

点评：本题主要考查等差数列的定义及通项公式，前n项和公式、等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法．