Question

（2006•广州二模）已知函数f(x)=

(x+1)4+(x-1)4

(x+1)4-(x-1)4

（x≠0）．
（Ⅰ）若f（x）=x且x∈R，则称x为f（x）的实不动点，求f（x）的实不动点；
（Ⅱ）在数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=f（a_n）（n∈N^*），求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由f(x)=

x4+6x2+1

4x3+4x

，且f（x）=x，知

x4+6x2+1

4x3+4x

=x⇒3x4-2x2-1=0⇒x2=1或x2=-

1

3

（舍去），由此能求出f（x）的实不动点．
（Ⅱ）由条件得an+1=

(an+1)4+(an-1)4

(an+1)4-(an-1)4

⇒

an+1+1

an+1-1

=

(an+1)4

(an-1)4

=(

an+1

an-1

)4，从而有ln

an+1+1

an+1-1

=4ln

an+1

an-1

，由ln

a1+1

a1-1

=ln3≠0，知数列{ln

an+1

an-1

}是首项为ln3，公比为4的等比数列，由此能求出数列{a_n}的通项公式．

解答：解：（Ⅰ）∵f(x)=

x4+6x2+1

4x3+4x

，且f（x）=x，
∴

x4+6x2+1

4x3+4x

=x⇒3x4-2x2-1=0⇒x2=1或x2=-

1

3

（舍去），
所以x=1或-1，即f（x）的实不动点为x=1或x=-1．
（Ⅱ）由条件得an+1=

(an+1)4+(an-1)4

(an+1)4-(an-1)4

⇒

an+1+1

an+1-1

=

(an+1)4

(an-1)4

=(

an+1

an-1

)4，
从而有ln

an+1+1

an+1-1

=4ln

an+1

an-1

，
∵ln

a1+1

a1-1

=ln3≠0，
∴数列{ln

an+1

an-1

}是首项为ln3，公比为4的等比数列，
∴ln

an+1

an-1

=4n-1ln3⇒

an+1

an-1

=34n-1⇒an=

34n-1+1

34n-1-1

（n∈N^*）．

点评：本题考查数列递推式的应用，考查运算求解能力和推理论证能力．综合性强，难度大，是高考的重点，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．