Question

（2006•广州二模）已知△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等差数列，且2cos2B-8cosB+5=0，求角B的大小并判断△ABC的形状．

Answer 1

分析：先利用二倍角公式将方程2cos2B-8cosB+5=0化为关于cosB的方程，解得cosB，从而由B的范围确定角B的大小，再由余弦定理结合a、b、c成等差数列，得三角形边的关系，最后确定三角形形状

解答：解：由2cos2B-8cosB+5=0，可得4cos²B-8cosB+3=0，
即（2cosB-1）（2cosB-3）=0．
解得cosB=

1

2

或cosB=

3

2

（舍去）．
∵0＜B＜π，∴B=

π

3

又∵a，b，c成等差数列，即a+c=2b．
∴cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

a2+c2-( a+c 2 )2

2ac

=

1

2

，
化简得a²+c²-2ac=0，解得a=c，
∵B=

π

3

∴△ABC是等边三角形．

点评：本题考查了二倍角公式，简单的三角方程解法，余弦定理及其推论的用法，判断三角形形状问题的一般解决方法