Question

（2006•广州二模）某公司是一家专做产品A的国内外销售的企业，第一批产品A上市销售40天内全部售完．该公司对第一批产品A上市后的国内外市场销售情况进行了跟踪调查，调查结果如图中一、二、三所示，其中图一中的折线表示的是国外市场的日销售量与上市时间的关系；图二中的抛物线表示的是国内市场的日销售量与上市时间的关系；图三中的折线表示的是每件产品A的销售利润与上市时间的关系（国内外市场相同）．
（1）分别写出国外市场的日销售量f（t）、国内市场的日销售量g（t）与第一批产品A上市时间t的关系式；
（2）第一批产品A上市后的哪几天，这家公司的日销售利润超过6300万元？

Answer 1

分析：（1）由图一中国外市场的日销售量f（t）是一个分段函数，图二中在两段上均为一次函数，国内市场的日销售量g（t）是二次函数，利用选定系数法易求出国外市场的日销售量f（t）、国内市场的日销售量g（t）与第一批产品A上市时间t的关系式；
（2）由图三中产品A的销售利润h（t）与上市时间t的关系，我们可求出家公司的日销售利润为F（t）的解析式，分析函数的单调性后，结合函数的单调性可得第一批产品A上市后的哪几天，这家公司的日销售利润超过6300万元．

解答：解：（1）f(t)=

2t，(0≤t≤30) -6t+240  (30＜t≤40)

，g(t)=-

3

20

t2+6t（0≤t≤40）
（2）每件产品A的销售利润h（t）与上市时间t的关系为h(t)=

3t  (0≤t≤20) 60  (20＜t≤40)

设这家公司的日销售利润为F（t），
则F（t）=

3t(- 3 20 t2+6t+2t)  (0≤t≤20) 60(- 3 20 t2+6t+2t)  (20＜t≤30) 60(- 3 20 t2+6t-6t+240)  (30＜t≤40)

=

3t(- 3 20 t2+8t)  (0≤t≤20) 60(- 3 20 t2+8t)  (20＜t≤30) 60(- 3 20 t2+240)  (30＜t≤40)

当0≤t≤20时，F′(t)=-

27

20

t2+48t=t(48-

27

20

t)≥0，
故F（t）在[0，20]上单调递增，此时F（t）的最大值是F（20）=6000＜6300；
当20＜x≤30时，令60（-

3

20

t2+8t）＞6300，解得

70

3

＜t＜30；
当30＜x≤40时，F（t）=60（-

3

20

t2+240）＜60（-

3

20

×302+240）=6300；
答：第一批产品A上市后，在第24，25，26，27，28，29天，这家公司的日销售利润超过6300万元．

点评：本题考查的知识点是函数模型的选择与应用，其中根据函数图象，求出各个函数的解析式，是解答本题的关键．