Question

设F（

1

2

，0），点A在x轴上，点B在y轴上，且

AM

=2

AB

，

BA

•

BF

=0．
（1）当点B在y轴上运动时，求点M的轨迹E的方程；
（2）设点F是轨迹E上的动点，点R，N在y轴上，圆（x-1）²+y²=1内切于△PRN，求△PRN的面积的最小值．

Answer 1

考点：轨迹方程

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1））设M（x，y），由

AM

=2

AB

，得点B为线段AM的中点，由

BA

•

BF

=-

1

2

x+

y2

4

=0，即可得到动点M的轨迹E的方程；
（2）设P（x₀，y₀），R（0，b），N（0，c），且b＞c，可得PR直线的方程为：（y₀-b）x-x₀y+x₀b=0，由直线PR、PN与题中的圆相切，运用距离公式算出（x₀-2）b²+2y₀b-x₀=0、（x₀-2）c²+2y₀c-x₀=0，可得b、c是方程（x₀-2）x²+2y₀x-x₀=0的两个根，运用根与系数的关系算出|b-c|关于x的式子，再代入计算△PRN的面积可得面积S关于x的表达式，最后利用基本不等式即可求出△PRN的面积的最小值．

解答： 解：（1）设M（x，y），由

AM

=2

AB

，得点B为线段AM的中点，
∴B（0，

y

2

），A（-x，0），
∴

BA

=（-x，-

y

2

），

BF

=（

1

2

，-

y

2

）．
由

BA

•

BF

=-

1

2

x+

y2

4

=0，得y²=2x．
所以动点M的轨迹E的方程为y²=2x；               

（2）设P（x₀，y₀），R（0，b），N（0，c），且b＞c，
∴PR直线的方程为y=

y0-b

x0

x+b，整理得l_PR：（y₀-b）x-x₀y+x₀b=0，
∵圆（x-1）²+y²=1内切于△PRN，可得PR与圆相切，
∴

|y0-b+x0b|

(y0-b)2+x02

=1，
注意到x₀＞2，化简得：（x₀-2）b²+2y₀b-x₀=0，
同理可得：（x₀-2）c²+2y₀c-x₀=0，
因此，b、c是方程（x₀-2）x²+2y₀x-x₀=0的两个不相等的实数根，
根据根与系数的关系，化简整理可得|b-c|=

4y02+4x0(x0-2)

|x0-2|

=

2x0

x0-2

，
由此可得△PRN的面积为S=

1

2

•

2x0

x0-2

•x₀=（x₀-2）+

4

x0-2

+4≥8，
∴当x₀-2=

4

x0-2

时，即当x₀=4时，△PRN的面积的最小值为8．

点评：本题考查轨迹方程，考查直线与圆的位置关系，考查基本不等式的运用，属于中档题．