Question

研究函数的对称中心有如下结论：如果存在实数a, b使恒成立，则（a, b）为函数的图像的对称中心.

   （1）求证函数的图像的对称中心为（0，1），并求函数的图象的对称中心；

   （2）试用函数的性质及图象变换解释：“如果存在实数a, b使恒成立，则（a, b）为函数的图象的对称中心.”

   （3）是否存在函数，使函数的图象有相同的对称中心（c,d）？请对时，说明你的结论与理由.

Answer 1

解：（1）对于函数恒成立，

所以的图象的对称中心为（0，1）.

设的对称中心为（a,b）

则恒成立，

即恒成立，

即恒成立，

所以

所以的图象的对称中心为（－1，0）

（2）由

令为奇函数，

其图像关于原点（0，0）对称，

而函数的图象可由向右平移a（a>0）或向左平移单位或不进行左右平移（a=0），向上平移b（b>0）或向下平移－b（b<0）或不进行上下平移（b=0）单位得到，所以的图像的对称中心为（a,b）.

说明：（1）中分别说明，仿（2）也可！

（3）假设存在函数，使有相同的对称中心（c,d）且，则，且

所以的两个实数，

而该方程当时，，

所以假设错误.

所以，不存在函数有相同的对称中心（c,d），

其中.