Question

14．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+\frac{1}{x}，x＞0}\\{1-{x}^{2}-4x，x≤0}\end{array}\right.$若函数y=f（x）-a只有两个零点，则实数a的取值范围是[1，2）∪（5，+∞）．

Answer 1

分析 判断f（x）的单调性并求出f（x）在单调区间端点的函数值，作出函数图象，根据函数图象即可得出a的范围．

解答 解：当x＞0时，f′（x）=1-$\frac{1}{{x}^{2}}$，
∴当0＜x＜1时，f′（x）＜0，当x＞1时，f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，且f（1）=2．
当x≤0时，f（x）=-x²-4x+1=-（x+2）²+5，
∴f（x）在（-∞，-2）上单调递增，在（-2，0）上单调递减，且f（-2）=5，f（0）=1，
作出f（x）的大致函数图象如图所示：

由图象可知当a＞5或1≤a＜2时，f（x）=a有两解，
故答案为：[1，2）∪（5，+∞）．

点评 本题考查了函数零点与函数图象的关系，函数单调性的判断，属于中档题．