Question

在直角坐标系xoy中，以O为圆心的圆和直线x-

3

y-4=0相切．
（1）求圆O的方程；
（2）过点P（-1，-2）的直线l与圆O交于A，B两点，且|AB|=2

3

，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（1）设圆的半径等于R，由以O为圆心的圆和直线x-

3

y-4=0相切，利用点到直线的距离公式求得 R的值，即可求得圆的方程．
（2）根据弦长和半径利用弦长公式求得圆心到直线的距离d=1．当直线l与x轴垂直时，直线l的方程为 x=1，满足条件．当直线l与x轴不垂直时，用点斜式设出直线l的方程，
由d=1求出直线的斜率k的值，即可得到直线的方程．综合可得结论．

解答：解：（1）设圆的半径等于R，由以O为圆心的圆和直线x-

3

y-4=0相切可得 R=

|0-0-4|

1+3

=2，
故所求的圆的方程为 x²+y²=4．
（2）过点P（-1，-2）的直线l与圆O交于A，B两点，且|AB|=2

3

，R=2，故圆心到直线的距离d=

22-( 3 ) 2

=1，
当直线l与x轴垂直时，直线l的方程为 x=1，满足条件．
当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为 y+2=k（x+1），即 kx-y+k-2=0，由d=1=

|k-2|

k2+1

，可得 k=

3

4

．
故直线l的方程为 y+2=

3

4

（x+1），即 3x-4y-5=0．
综上可得，直线l的方程为  x-1=0，或3x-4y-5=0．

点评：本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，属于中档题．