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在等差数列{an}中,a1=1,a5=9,在数列{bn}中,b1=2,且bn=2bn-1-1,(n≥2)
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;
(2)设Tn=
a1
b1-1
+
a2
b2- 1
+
a3
b3-1
+…+
an
bn-1
,求Tn
分析:(1)由已知可求公差d,代入等差数列的通项公式可求an,由bn=2bn-1-1可得bn-1=2(bn-1-1)(n≥2),则可得{bn-1}是等比数列,结合等比数列的通项公式可求bn
(2)由(1)可得Tn1+
3
2
+
5
4
+…+
2n-3
2n-2
+
2n-1
2n-1
,结合所求和的特点,考虑利用错位相减求解.
解答:解:(1)由等差数列的通项公式可得,d=
a5-a1
5-1
=2
∴an=1+2(n-1)=2n-1     
 由bn=2bn-1-1可得bn-1=2(bn-1-1)(n≥2)
∴{bn-1}是以b1-1=1为首项,2为公比的等比数列
∴bn-1=2n-1  
  故bn=2n-1+1
(2)Tn=
a1
b1-1
+
a2
b2-1
+…+
an
bn-1
=
2-1
20
+
2×2-1
22-1
+…+
2n-1
2n-1

=1+
3
2
+
5
4
+…+
2n-3
2n-2
+
2n-1
2n-1
         ①
则 
1
2
Tn=
1
2
+
3
4
+
5
8
+…+
2n-3
2n-1
+
2n-1
2n
 ②
①-②可得
1
2
Tn
=1+2(
1
2
+
1
2 2
+…+
1
2 n-1
)
-
2n-1
2n

=1+2×
1
2
[1-(
1
2
)
n-1
]
1-
1
2
-
2n-1
2n

=1+2-(
1
2
)
n-2
-(2n-1)(
1
2
)
n

=3-(
1
2
)
n
[4+(2n-1)]
=3-(2n+3)(
1
2
)
n

所以Tn=6-
2n+3
2n-1
点评:本题主要考查了等差数列的通项公式的应用,构造等比求数列的通项公式,错位相减求数列的和是数列求和中的重点与难点.
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