Question

7．已知函数f（x）=|x-1|+|2x+2|-5．
（Ⅰ）解不等式f（x）≥0；
（Ⅱ）已知x∈[-2，$\frac{5}{3}$]时，f（x）∈[a，b]，求$\sqrt{at+12}$+$\sqrt{bt}$的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．
（Ⅱ）当x∈[-2，$\frac{5}{3}$]时，根据单调性求得f（x）的值域，可得a、b的值，再利用二次函数的性质求得$\sqrt{at+12}$+$\sqrt{bt}$的最大值．

解答 解：（Ⅰ）由不等式f（x）=|x-1|+|2x+2|-5≥0，
可得$\left\{\begin{array}{l}{x＜-1}\\{1-x+（-2x-2）-5≥0}\end{array}\right.$ ①，或 $\left\{\begin{array}{l}{-1≤x≤1}\\{1-x+2x+2-5≥0}\end{array}\right.$ ②，或$\left\{\begin{array}{l}{x＞1}\\{x-1+2x+2-5≥0}\end{array}\right.$ ③．
解①求得 x≤-2，解②求得x∈∅，解③求得x≥$\frac{4}{3}$，
综上可得，不等式的解集为{x|x≤-2，或x≥$\frac{4}{3}$}．
（Ⅱ）∵x∈[-2，$\frac{5}{3}$]时，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-3x-6，x＜-1}\\{x-2，-1≤x≤1}\\{3x-4，x＞1}\end{array}\right.$，f（x）∈[a，b]，
函数f（x）在[-2，-1]上是减函数，在[-1，$\frac{5}{3}$]上是增函数，
∵f（-2）=0，f（-1）=-3，f（$\frac{5}{3}$）=1，∴a=-3，b=1，
∴y=$\sqrt{at+12}$+$\sqrt{bt}$=$\sqrt{12-3t}$+$\sqrt{t}$=$\sqrt{3}$•$\sqrt{4-t}$+$\sqrt{3}$•$\sqrt{\frac{t}{3}}$=$\sqrt{3}$（$\sqrt{4-t}$+$\sqrt{t}$），
∴对于函数 y²=3（4+2$\sqrt{t（4-t）}$），故当t=2时，函数y²取得最大值为24，
此时，函数y的最大值为$\sqrt{24}$=2$\sqrt{6}$．

点评 本题主要考查绝对值不等式的解法，分段函数的应用，求函数的值域，二次函数的性质，属于中档题．