Question

6．已知数列{a_n}满足：a₁=2，（n+1）a_n=（n-1）a_n-1（n≥2，n∈N^*），则$\frac{a_3}{a_1}$=$\frac{1}{6}$，数列{a_n}的通项公式为$\frac{4}{{n（{n+1}）}}$．

Answer 1

分析 通过对（n+1）a_n=（n-1）a_n-1（n≥2，n∈N^*）变形可知$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{n-1}{n+1}$（n≥2，n∈N^*），累乘计算即得结论．

解答 解：∵（n+1）a_n=（n-1）a_n-1（n≥2，n∈N^*），
∴$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{n-1}{n+1}$（n≥2，n∈N^*），
∵$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=$\frac{1}{3}$，$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$=$\frac{2}{4}$，
∴$\frac{{a}_{3}}{{a}_{1}}$=$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$•$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=$\frac{1}{6}$，
同时累乘得：$\frac{{a}_{n}}{{a}_{1}}$=$\frac{1}{3}$•$\frac{2}{4}$•…•$\frac{n-1}{n+1}$=$\frac{2}{n（n+1）}$，
又∵a₁=2，
∴a_n=$\frac{2}{n（n+1）}$•2=$\frac{4}{n（n+1）}$，
故答案为：$\frac{1}{6}$、$\frac{4}{{n（{n+1}）}}$．

点评 本题考查数列的通项，注意解题方法的积累，属于中档题．