Question

过点M（1，1）斜率为-

1

2

的直线与椭圆交于A、B两点，若M为AB中点，则e=

 

．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），代入椭圆方程，两式相减，由于平方差公式，结合中点坐标公式和斜率公式，可得a²=2b²，再由a，b，c的关系和离心率公式，即可得到．

解答： 解：设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则有

x12

a2

+

y12

b2

=1，

x22

a2

+

y22

b2

=1，
两式相减可得，

(x1-x2)(x1+x2)

a2

+

(y1-y2)(y1+y2)

b2

=0，
由于M为AB中点，则有x₁+x₂=2，y₁+y₂=2，
则k_AB=

y1-y2

x1-x2

=-

b2

a2

=-

1

2

，
即a²=2b²=2（a²-c²），则a=

2

c，
则有e=

c

a

=

2

2

．
故答案为：

2

2

．

点评：本题考查椭圆的方程和性质，考查离心率的求法，考查点差法解决中点弦的问题，考查运算能力，属于中档题．