Question

13．在数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=a_n+2ⁿ+1．
（1）求证：数列{a_n-2ⁿ}为等差数列；
（2）设数列{b_n}满足b_n=2log₂（a_n+1-n），求{b_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （1）通过对a_n+1=a_n+2ⁿ+1变形可知a_n+1-2ⁿ⁺¹=a_n-2ⁿ+1，进而数列{a_n-2ⁿ}是以0为首项、1为公差的等差数列；
（2）通过（1）可知a_n-2ⁿ=n-1，进而a_n+1-n=2ⁿ，利用对数的性质计算即得结论．

解答 （1）证明：∵a_n+1=a_n+2ⁿ+1，
∴a_n+1-2ⁿ⁺¹=a_n-2ⁿ+1，
又∵a₁-2¹=2-2=0，
∴数列{a_n-2ⁿ}是以0为首项、1为公差的等差数列；
（2）解：由（1）可知a_n-2ⁿ=n-1，
∴a_n+1-n=2ⁿ，
∴b_n=2log₂（a_n+1-n）
=2log₂2ⁿ
=2n．

点评 本题考查数列的通项，涉及对数的简单性质，注意解题方法的积累，属于中档题．