Question

14．在△ABC中，若S_△ABC=12$\sqrt{3}$，ac=48，c-a=2，则b=2$\sqrt{13}$或$2\sqrt{37}$．

Answer 1

分析 根据题意和三角形的面积公式分别求出角B、a、c的值，再分别由余弦定理求出边b的值．

解答 解：因为S_△ABC=12$\sqrt{3}$，ac=48，
所以$\frac{1}{2}acsinB=12\sqrt{3}$，解得sinB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
由0＜B＜π得，B=$\frac{π}{3}$或$\frac{2π}{3}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{ac=48}\\{c-a=2}\end{array}\right.$得，c=8、a=6，
①当B=$\frac{π}{3}$时，由余弦定理得：b²=a²+c²-2accosB
=36+64-2×$48×\frac{1}{2}$=52，则b=2$\sqrt{13}$；
②当B=$\frac{2π}{3}$时，由余弦定理得：b²=a²+c²-2accosB
=36+64-2×$48×（-\frac{1}{2}）$=148，则b=$2\sqrt{37}$，
综上可得，b的值是2$\sqrt{13}$或$2\sqrt{37}$，
故答案为：2$\sqrt{13}$或$2\sqrt{37}$．

点评 本题考查了余弦定理，以及三角形的面积公式，注意三角形内角的范围，属于中档题．