Question

14．已知f（x）=-4cos² x+4$\sqrt{3}$sinxcosx+5，x∈R．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）的最大值及当f（x）取得最大值时的x的值的集合．

Answer 1

分析 （1）由三角函数中的恒等变换应用可得解析式f（x）=4sin（2x-$\frac{π}{6}$）+3，利用三角函数的周期性及其求法即可解得f（x）的最小正周期．
（2）由sin（2x-$\frac{π}{6}$）=1，可求2x-$\frac{π}{6}$=2k$π+\frac{π}{2}$，k∈Z，解得x=k$π+\frac{π}{3}$，k∈Z，从而得解．

解答 解：（1）∵f（x）=-4cos² x+4$\sqrt{3}$sinxcosx+5
=-4×$\frac{1+cos2x}{2}+2\sqrt{3}sin2x+5$
=2$\sqrt{3}$sin2x-2cos2x+3
=4sin（2x-$\frac{π}{6}$）+3
∴f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$．
（2）当sin（2x-$\frac{π}{6}$）=1时，即2x-$\frac{π}{6}$=2k$π+\frac{π}{2}$，k∈Z时，即x=k$π+\frac{π}{3}$，k∈Z时，f（x）取最大值7，
此时x的值的集合为：{x|x=k$π+\frac{π}{3}$，k∈Z}．

点评 本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法，正弦函数的图象和性质，属于基础题．