Question

3．已知两个等差数列{a_n}和{b_n}的前n项和分别为A_n和B_n，且$\frac{{A}_{n}}{{B}_{n}}$=$\frac{5n+63}{n+3}$，则使得$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$为整数的个数是7．

Answer 1

分析 根据等差数列的前n项和公式进行化简即可．

解答 解：∵$\frac{An}{Bn}$=$\frac{\frac{n（{a}_{1}+{a}_{n}）}{2}}{\frac{n（{b}_{1}+{b}_{n}）}{2}}$=$\frac{{a}_{1}+{a}_{n}}{{b}_{1}+{b}_{n}}$=$\frac{5n+63}{n+3}$，
∴$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$=$\frac{2{a}_{n}}{2{b}_{n}}=\frac{{a}_{1}+{a}_{2n-1}}{{b}_{1}+{b}_{2n-1}}$=$\frac{5（2n-1）+63}{2n-1+3}$=$\frac{10n+58}{2n+2}$=$\frac{5n+29}{n+1}$=5+$\frac{24}{n+1}$．
∴要使$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$∈Z，只要$\frac{24}{n+1}$∈Z即可，
∴n+1为24的正约数，即2，3，4，6，8，12，24，共有7个．
故答案为：7．

点评 本题主要考查等差数列通项公式以及前n项和公式的应用，利用等差数列的性质进行转化是解决本题的关键．