【题目】已知函数.
(1)求曲线在点
处的切线方程;
(2)证明:在区间
上有且仅有
个零点.
【答案】(1);(2)见解析
【解析】
(1)给函数求导,将切点的横坐标带入原函数,导函数,分别求出切点和斜率,用点斜式写出直线方程即可.
(2)当时,
,所以,函数
在区间
上没有零点;又
,下面只需证明函数
在区间
上有且只有一个零点.因为函数
在区间
上单调递增,
,
,存在
,使得
,函数
在
处取得极小值,则
,又
,所以
,由零点存在定理可知,函数
在区间
上有且只有一个零点.综上可得,函数
在
上有且仅有两个零点.
(1),则
,
,
.
因此,函数在点
处的切线方程为
,即
.
(2)当时,
,此时,
,
所以,函数在区间
上没有零点;
又,下面只需证明函数
在区间
上有且只有一个零点.
,构造函数
,则
,
当时,
,
所以,函数在区间
上单调递增,
,
,
由零点存在定理知,存在,使得
,
当时,
,当
时,
.
所以,函数在
处取得极小值,则
,
又,所以
,
由零点存在定理可知,函数在区间
上有且只有一个零点.
综上可得,函数在
上有且仅有两个零点.
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【题目】给出下列五个命题:
①直线平行于平面
内的一条直线,则
;
②若是锐角三角形,则
;
③已知是等差数列
的前
项和,若
,则
;
④当时,不等式
恒成立,则实数
的取值范围为
.
其中正确命题的序号为___________.
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【题目】如图,在四棱锥中,顶点P在底面的投影
恰为正方形ABCD的中心且
,设点M,N分别为线段PD,PO上的动点,已知当
取得最小值时,动点M恰为PD的中点,则该四棱锥的外接球的表面积为____________.
A.B.
C.
D.
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【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为
,离心率为
,直线
与椭圆C交于A,B两点,且
.
(1)求椭圆C的方程.
(2)不经过点的直线
被圆
截得的弦长与椭圆C的长轴长相等,且直线
与椭圆C交于D,E两点,试判断
的周长是否为定值?若是,求出定值;若不是,请说明理由.
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【题目】设是由满足下列性质的函数
构成的集合:在函数
的定义城内存在
,使得
成立,已知下列函数:①
;②
;③
;④
. 其中属于集合
的函数是________. (写出所有满足要求的函数的序号)
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