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给定曲线f(x)=ax3+x2(a≠0).
(1)若a=1,过点P(1,2)引曲线的切线,求切线方程;
(2)若过曲线上的点Q引曲线的切线只有一条,求点Q的坐标;
(3)若x∈(0,1)时,以曲线段上任一点为切点的切线斜率的绝对值不大于1,求实数a的取值范围.
【答案】分析:(1)先求函数的导函数,然后讨论点P是否为切点,当P(1,2)为切点时,切线斜率k=f'(1),然后利用点斜式方程可求出切线方程,当P(1,2)不是切点时,设切点为T(x,x3+x2),切线斜率k=f'(x),然后根据k=kPT建立等式关系,求出切点,从而求出切线方程;
(2)设Q(x1,ax13+x12),以Q为切点时必然存在一条切线,求出切线方程,然后与曲线联立方程组,使关于x的方程只有一个根x1,△=0,可求出点Q的坐标;
(3)由题意得:-1≤3ax2+2x≤1,x∈(0,1)恒成立,然后将a分离出来得,然后分别研究左边函数在x∈(0,1)的最大值,右边函数在x∈(0,1)的最小值,即可求出a的取值范围.
解答:解:(1)f(x)=x3+x2,f'(x)=3x2+2x
①当P(1,2)为切点时,切线斜率k=f'(1)=5,此时切线方程为y-2=5(x-1),即y=5x-3.
②当P(1,2)不是切点时,设切点为T(x,x3+x2),切线斜率k=f'(x)=3x3+2x
另一方面,k=kPT=

∵x≠1,∴x=-1,∴T(-1,0),此时切线y=x+1
综上,所求的切线为y=5x-3或y=x+1.
(2)设Q(x1,ax13+x12),以Q为切点时必然存在一条切线.
切线斜率k=f'(x1)=3ax12+2x1
切线方程为:y-(ax13+x12)=3(ax12+2x1)(x-x1),联立曲线y=ax3+x2
得(x-x1)[ax2+(ax1+1)x-2ax12-x1]=0,
由于这样的切线只有一条,所以上述关于x的方程只有一个根x1
即二次方程ax2+(ax1+1)x-2ax12-x1=0只有一个根x1
显然把x=x1代入满足,故△=(ax1+1)2+4a(2ax12+x1)=0
化简为:△=9a2x12+6ax1+1=(3ax1+1)2=0,解得x1=-,得
(3)由题意得:-1≤3ax2+2x≤1,x∈(0,1)恒成立




点评:本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程,以及恒成立问题,同时考查了分类讨论的数学思想,属于中档题.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=
-x3+x2+bx+c,(x<1)
alnx,(x≥1)
的图象过点(-1,2),且在点(-1,f(-1))处的切线与直线x-5y+1=0垂直.
(1)求实数b,c的值;
(2)求f(x)在[-1,e](e为自然对数的底数)上的最大值;
(3)对任意给定的正实数a,曲线y=f(x)上是否存在两点P,Q,使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边中点在y轴上?

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2011•浙江模拟)已知函数f(x)=
-x3+x2,x<1
alnx,     x≥1.

(Ⅰ)求f(x)在[-1,e](e为自然对数的底数)上的最大值;
(Ⅱ)对任意给定的正实数a,曲线y=f(x)上是否存在两点P,Q,使得POQ是以O为直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边中点在y轴上?

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科目:高中数学 来源: 题型:

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(1)若a=1,过点P(1,2)引曲线的切线,求切线方程;
(2)若过曲线上的点Q引曲线的切线只有一条,求点Q的坐标;
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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

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