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给定曲线f(x)=ax3+x2(a≠0).
(1)若a=1,过点P(1,2)引曲线的切线,求切线方程;
(2)若过曲线上的点Q引曲线的切线只有一条,求点Q的坐标;
(3)若x∈(0,1)时,以曲线段上任一点为切点的切线斜率的绝对值不大于1,求实数a的取值范围.
(1)f(x)=x3+x2,f'(x)=3x2+2x
①当P(1,2)为切点时,切线斜率k=f'(1)=5,此时切线方程为y-2=5(x-1),即y=5x-3.
②当P(1,2)不是切点时,设切点为T(x0,x03+x02),切线斜率k=f'(x0)=3x03+2x0
另一方面,k=kPT=
x30
+
x20
-2
x0-1

x03
+
x02
-2
x0-1
=3
x02
+2
x
(
x
-1)
2
(
x
+1)=0

∵x0≠1,∴x0=-1,∴T(-1,0),此时切线y=x+1
综上,所求的切线为y=5x-3或y=x+1.
(2)设Q(x1,ax13+x12),以Q为切点时必然存在一条切线.
切线斜率k=f'(x1)=3ax12+2x1
切线方程为:y-(ax13+x12)=3(ax12+2x1)(x-x1),联立曲线y=ax3+x2
得(x-x1)[ax2+(ax1+1)x-2ax12-x1]=0,
由于这样的切线只有一条,所以上述关于x的方程只有一个根x1
即二次方程ax2+(ax1+1)x-2ax12-x1=0只有一个根x1
显然把x=x1代入满足,故△=(ax1+1)2+4a(2ax12+x1)=0
化简为:△=9a2x12+6ax1+1=(3ax1+1)2=0,解得x1=-
1
3a
,得Q(-
1
3a
2
27a2
)

(3)由题意得:-1≤3ax2+2x≤1,x∈(0,1)恒成立
-1-2x
3x2
≤a≤
1-2x
3x2

1-2x
3x2
=
1
3
(
1
x2
-2
1
x
)=
1
3
[(
1
x
-1)2-1]>-
1
3

-1-2x
3x2
=-
1
3
(
1
x2
+2
1
x
)=-
1
3
[(
1
x
+1)2-1]<-1

-1≤a≤-
1
3
练习册系列答案
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已知函数f(x)=
-x3+x2+bx+c,(x<1)
alnx,(x≥1)
的图象过点(-1,2),且在点(-1,f(-1))处的切线与直线x-5y+1=0垂直.
(1)求实数b,c的值;
(2)求f(x)在[-1,e](e为自然对数的底数)上的最大值;
(3)对任意给定的正实数a,曲线y=f(x)上是否存在两点P,Q,使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边中点在y轴上?

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