试题分析:(1) 利用导数的几何意义求切线的斜率,再求切点坐标,最后根据点斜式直线方程求切线方程;(2)利用导数的正负分析原函数的单调性,注意在解不等式时需要对参数的范围进行讨论;(3)根据单调性求函数的极值,根据其图像交点的个数确定两个函数极值的大小关系,然后解对应的不等式.
试题解析:(1)因为
,
所以
,
所以曲线
在点
处的切线斜率为
.
又因为
,
所以所求切线方程为
,即
. 2分
(2)
,
①若
,当
或
时,
;当
时,
.
所以
的单调递减区间为
,
;
单调递增区间为
. 4分
②若
,
,
所以
的单调递减区间为
. 5分
③若
,当
或
时,
;当
时,
.
所以
的单调递减区间为
,
;
单调递增区间为
. 7分
(3)由(2)知函数
在
上单调递减,在
单调递增,在
上单调递减,
所以
在
处取得极小值
,在
处取得极大值
. 8分
由
,得
.
当
或
时,
;当
时,
.
所以
在
上单调递增,在
单调递减,在
上单调递增.
故
在
处取得极大值
,在
处取得极小值
. 10分
因为函数
与函数
的图象有3个不同的交点,
所以
,即
. 所以
. 12分