Question

【题目】在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a、b、c，已知a=csinB+bcosC．
（1）求A+C的值；
（2）若b= ，求△ABC面积的最值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由正弦定理得到：sinA=sinCsinB+sinBcosC，

因为在三角形中，sinA=sin[π﹣（B+C）]=sin（B+C），

所以sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=sinCsinB+sinBcosC，

所以cosBsinC=sinCsinB，

因为C∈（0，π），sinC≠0，

所以cosB=sinB，即tanB=1，

因为B∈（0，π），

所以B= ，即A+C=

（2）解：由余弦定理得到：b2=a2+c2﹣2accosB，

所以 ，

所以 ，即 ，当且仅当a=c即 时“=”成立．

而 ，

所以△ABC面积的最大值为

【解析】（1）由正弦定理，三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用化简已知可得cosBsinC=sinCsinB，由于sinC≠0，可求tanB=1，结合范围B∈（0，π），即可得解A+C的值．（2）由已知及余弦定理可求 ，利用基本不等式可求 ，利用三角形面积公式可求△ABC面积的最大值．
【考点精析】利用正弦定理的定义对题目进行判断即可得到答案，需要熟知正弦定理:．