Question

【题目】如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，有下面结论：

①AC∥平面CB1D1；

②AC1⊥平面CB1D1；

③AC1与底面ABCD所成角的正切值是；

④AD1与BD为异面直线.其中正确的结论的序号是________.

Answer 1

【答案】②③④

【解析】

利用线面平行，线面垂直和线面所成角的定义分别判断．①因为AC∩平面CB1D1=C，所以AC∥平面CB1D1错误；根据线面垂直的判定定理得到②正确；由线面角的定义得到AC1在底面ABCD的射影为AC，所以∠C1AC是AC1与底面ABCD所成的角，在三角形中求得正切值③正确；由异面直线的定义可知，AD1与BD为异面直线，所以④正确．

①因为AC∩平面CB1D1=C，所以AC∥平面CB1D1错误，所以①错误．

②连结BC1，A1 C1，则BC1⊥B1 C，又因为AB⊥面BC C1B1

故 AB⊥B1 C, AB∩BC1=B，故B1 C⊥面ABC1

进而得到AC1⊥B1C，

连接A1 C1，同理可证B1D1⊥AC1

又因为B1D1∩B1 C于点B1

故得到AC1⊥平面CB1D1

所以②正确．

③因为AC1在底面ABCD的射影为AC，所以∠C1AC是AC1与底面ABCD所成的角，设正方体的边长为a,则AC=

所以所以③正确．

④由异面直线的定义可知，AD1与BD为异面直线，所以④正确．

故答案为：②③④．