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已知函数f(x)=2sin2(
π
4
x+
π
4
)

(Ⅰ)把f(x)解析式化为f(x)=Asin(ωx+?)+b的形式,并用五点法作出函数f(x)在一个周期上的简图;
(Ⅱ)计算f(1)+f(2)+…+f(2012)的值.
分析:(Ⅰ)利用倍角公式和诱导公式对函数解析式进行化简,再利用正弦函数的五个关键点进行列表、描点、连线;
(Ⅱ)根据函数解析式先求出周期,再求出一个周期内的函数值的和,进而判断出2012与周期的关系,再求出式子和的值.
解答:解:(Ⅰ)由题意知,f(x)=2sin2(
π
4
x+
π
4
)=1-cos(
π
2
x+
π
2
)=1+sin
π
2
x

列表:
x 0 1 2 3 4
π
2
x
0
π
2
π
2
y=1+sin
π
2
x
1 2 1 0 1
描点画图,如图所示:








(Ⅱ)∵f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2+1+0+1=4,而y=f(x)的周期为4,且2012=4×503,
∴f(1)+f(2)+…+f(2012)=4×503=2012.
点评:本题是关于三角函数的综合题,涉及了倍角公式、诱导公式的应用,“五点作图法”的步骤,函数周期性的应用求式子的值,考查了分析、解决问题能力和作图能力.
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1
x
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