【题目】如图,有一直径为8米的半圆形空地,现计划种植果树,但需要有辅助光照.半圆周上的C处恰有一可旋转光源满足果树生长的需要,该光源照射范围是 ,点E,F在直径AB上,且
.
(1)若 ,求AE的长;
(2)设∠ACE=α,求该空地种植果树的最大面积.
【答案】
(1)解:由已知得△ABC为直角三角形,因为AB=8, ,
所以 ,AC=4,
在△ACE中,由余弦定理:CE2=AC2+AE2﹣2ACAEcosA,且 ,
所以13=16+AE2﹣4AE,
解得AE=1或AE=3
(2)解:因为 ,
,
所以∠ACE=α ,
所以 ,
在△ACF中由正弦定理得: ,
所以 ,
在△ACE中,由正弦定理得: ,
所以 ,
由于: ,
因为 ,所以
,所以
,
所以当 时,S△ECF取最大值为
【解析】(1)由已知利用余弦定理,即可求AE的长;(2)设∠ACE=α,求出CF,CE,利用三角形面积公式可求S△CEF , 求出最大值,即可求该空地产生最大经济价值时种植甲种水果的面积.
【考点精析】解答此题的关键在于理解正弦定理的定义的相关知识,掌握正弦定理:,以及对余弦定理的定义的理解,了解余弦定理:
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;
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【题目】已知数列{an}前n项和为Sn .
(1)若Sn=2n﹣1,求数列{an}的通项公式;
(2)若a1= ,Sn=anan+1 , an≠0,求数列{an}的通项公式;
(3)设无穷数列{an}是各项都为正数的等差数列,是否存在无穷等比数列{bn},使得an+1=anbn恒成立?若存在,求出所有满足条件的数列{bn}的通项公式;若不存在,说明理由.
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【题目】如图,三棱柱ABC﹣A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面ABC,AA1=2,AB=BC=1,∠ABC=90°,外接球的球心为O,点E是侧棱BB1上的一个动点.有下列判断: ①直线AC与直线C1E是异面直线;②A1E一定不垂直于AC1;③三棱锥E﹣AA1O的体积为定值;④AE+EC1的最小值为2 .
其中正确的个数是( )
A.1
B.2
C.3
D.4
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【题目】若圆C1:x2+y2=m与圆C2:x2+y2﹣6x﹣8y+16=0外切. (Ⅰ)求实数m的值;
(Ⅱ)若圆C1与x轴的正半轴交于点A,与y轴的正半轴交于点B,P为第三象限内一点,且点P在圆C1上,直线PA与y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N,求证:四边形ABNM的面积为定值.
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【题目】已知锐角三角形的两个内角A,B满足 ,则有( )
A.sin2A﹣cosB=0
B.sin2A+cosB=0
C.sin2A+sinB=0
D.sin2A﹣sinB=0
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【题目】随机抽取某中学甲乙两班各10名同学,测量他们的身高(单位:cm),获得身高数据的茎叶图如图.
(1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高;
(2)计算甲班的样本方差;
(3)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm的同学,求身高为176cm的同学被抽中的概率.
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【题目】下表是某厂的产量x与成本y的一组数据:
产量x(千件) | 2 | 3 | 5 | 6 |
成本y(万元) | 7 | 8 | 9 | 12 |
(Ⅰ)根据表中数据,求出回归直线的方程 =
x
(其中
=
,
=
﹣
)
(Ⅱ)预计产量为8千件时的成本.
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