Question

【题目】如图，有一直径为8米的半圆形空地，现计划种植果树，但需要有辅助光照．半圆周上的C处恰有一可旋转光源满足果树生长的需要，该光源照射范围是 ，点E，F在直径AB上，且 ．
（1）若 ，求AE的长；
（2）设∠ACE=α，求该空地种植果树的最大面积．

Answer 1

【答案】
（1）解：由已知得△ABC为直角三角形，因为AB=8， ，

所以 ，AC=4，

在△ACE中，由余弦定理：CE2=AC2+AE2﹣2ACAEcosA，且 ，

所以13=16+AE2﹣4AE，

解得AE=1或AE=3

（2）解：因为 ， ，

所以∠ACE=α ，

所以 ，

在△ACF中由正弦定理得： ，

所以 ，

在△ACE中，由正弦定理得： ，

所以 ，

由于： ，

因为 ，所以 ，所以 ，

所以当 时，S△ECF取最大值为

【解析】（1）由已知利用余弦定理，即可求AE的长；（2）设∠ACE=α，求出CF，CE，利用三角形面积公式可求S△CEF ， 求出最大值，即可求该空地产生最大经济价值时种植甲种水果的面积．
【考点精析】解答此题的关键在于理解正弦定理的定义的相关知识，掌握正弦定理:，以及对余弦定理的定义的理解，了解余弦定理:;;．