Question

【题目】若圆C1：x2+y2=m与圆C2：x2+y2﹣6x﹣8y+16=0外切． （Ⅰ）求实数m的值；
（Ⅱ）若圆C1与x轴的正半轴交于点A，与y轴的正半轴交于点B，P为第三象限内一点，且点P在圆C1上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）圆C1的圆心坐标（0，0），半径为 （m＞0），

圆C2的圆心坐标（3，4），半径为3，圆心距为：5，

又两圆外切，得 ，解得m=4．

（Ⅱ）由题易得点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，2），圆C1：x2+y2=4，

设P点的坐标为（x0，y0），x0，y0∈（﹣2，0）．

由题意，得点M的坐标为（0， ），点N的坐标为（ ，0），

四边形ABNM的面积S= |AN||BM|= =| |=| |，

由点P在圆C1上，得x02+y02=4，

∴四边形ABNM的面积S= ，

∴四边形ABNM的面积为定值4．

【解析】（Ⅰ）求出圆的圆心坐标，利用相切列出方程，即可求实数m的值；（Ⅱ）求出点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，2），设P点的坐标为（x0，y0），推出点M的坐标为（0， ），点N的坐标为（ ，0），表示出四边形ABNM的面积，利用点P在圆C1上，得x02+y02=4，化简求解即可．