Question

【题目】已知公比为正数的等比数列{an}（n∈N*），首项a1=3，前n项和为Sn ， 且S3+a3、S5+a5、S4+a4成等差数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn= ．

Answer 1

【答案】
（1）解：依题意公比为正数的等比数列{an}（n∈N*），首项a1=3，

设an=3qn﹣1，

因为S3+a3、S5+a5、S4+a4成等差数列，

所以2（S5+a5）=S3+a3+S4+a4，

即2（a1+a2+a3+a4+2a5）=（a1+a2+2a3+（a1+a2+a3+2a4），

化简得4a5=a3，

从而4q2=1，解得q=± ，

因为{an}（n∈N*）公比为正数，

所以q= ，an=6×（ ）n，n∈N*；

（2）解：bn= =n（ ）n，

则Tn=1（ ）+2（ ）2+3（ ）3++（n﹣1）（ ）n﹣1+n（ ）n，

Tn=1（ ）2+2（ ）3+3（ ）4++（n﹣1）（ ）n+n（ ）n+1，

两式相减可得 Tn= +（ ）2+（ ）3+（ ）4++（ ）n﹣n（ ）n+1

= ﹣n（ ）n+1，

化简可得Tn=2﹣（n+2）（ ）n．

【解析】（1）设公比为q＞0，由等比数列的通项公式和等差数列中项的性质，解方程可得q，即可得到所求通项公式；（2）求得bn= =n（ ）n，运用数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，化简整理即可得到所求和．
【考点精析】掌握数列的前n项和和数列的通项公式是解答本题的根本，需要知道数列{an}的前n项和sn与通项an的关系；如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式．