Question

【题目】已知圆C：x2+y2=12，直线l：4x+3y=25．求圆C上任意一点A到直线l的距离小于2的概率．

Answer 1

【答案】解：设直线l'：4x+3y﹣C=0，

l'与直线l：4x+3y=25的距离等于2，且与已知圆相交，

得 =2，解之得C=15或35

∵C＜25，可得C=15

∴到直线l：4x+3y=25的距离等于2且与已知圆相交的直线

为直线l'：4x+3y﹣15=0，

设l'交圆x2+y2=12于E、B两点，过圆心作EB的垂线，垂足为D，

则D为EB的中点，

∵|OD|= =3，

∴Rt△EOD中，cos∠EOD= = ，得∠EOD=30°

由此可得∠EOB=60°

当圆C上任意一点A到直线l的距离小于2时，点A位于劣弧BE上，

因此，所求概率为P= = ．

【解析】根据平行线的距离公式，算出到直线l：4x+3y=25的距离等于2且与已知圆相交的直线为直线l'：4x+3y﹣15=0．设l'交圆x2+y2=12于E、B两点，由图形观察可得当动点A位于劣弧BE上时点A到直线l的距离小于2．由此利用点到直线的距离公式，结合垂径定理和三角函数的定义算出∠EOB=60°，即可得到所求概率．
【考点精析】关于本题考查的几何概型，需要了解几何概型的特点：1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；2）每个基本事件出现的可能性相等才能得出正确答案．