Question

已知数列中，，设．
（Ⅰ）试写出数列的前三项；
（Ⅱ）求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；
（Ⅲ）设的前项和为，
求证：．

Answer 1

（Ⅰ），，；（Ⅱ）证明见试题解析，；（Ⅲ）证明见试题解析.

解析试题分析：（Ⅰ）由递推公式求出，再利用可直接求出；（Ⅱ）要证数列是等比数列，可由数列的递推关系建立起与的关系.
，从而证得数列是等比数列. 然后选求出，由可求出；（Ⅲ）本题最好是能求出，但由数列的通项公式可知不可求，结合结论是不等式形式可以用放缩法使得和可求，如
，又
，即有（等号只在时取得），然后求和，即可证得结论.
试题解析：（Ⅰ）由，得，.
由，可得，，.             3分
（Ⅱ）证明：因，故
.           5分
显然，因此数列是以为首项，以2为公比的等比数列，即
.                                 7分
解得.                                           8分
（Ⅲ）因为 
,
所以   11分
又（当且仅当时取等号），
故            14分[来源
考点：（Ⅰ）数列的项；（Ⅱ）等比数列的定义；（Ⅲ）放缩法.