Question

设点P（x，y）（y≥0）为平面直角坐标系xOy中的一个动点（O为坐标原点），点P到定点M(0，

1

2

)的距离比点P到x轴的距离大

1

2

．
（1）求点P的轨迹方程；
（2）若直线l：y=kx+1与点P的轨迹相交于A、B两点，且|AB|=2

6

，求k的值；
（3）设点P的轨迹曲线为C，点Q（x₀，y₀）（x₀≤1）是曲线C上的一点，求以点Q为切点的曲线C的切线方程及切线倾斜角的取值范围．

Answer 1

分析：（1）过P作x轴垂线且垂足为N，由题意可知|PM|-|PN|=

1

2

．由y≥0，知

x2+(y- 1 2 )2

=y+

1

2

，由此能求出点P的轨迹方程．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立

y=kx+1 x2=2y

得x²-2kx-2=0，所以x₁+x₂=2k，x₁x₂=-2，再由|AB|=2

6

，结合弦长公式能求出k的值．
（3）因为Q（x₀，y₀）在曲线C上，所以切点Q(x0，

1

2

x

2 0

)，又y=

1

2

x2求导得y'=x，所以切线斜率k=x₀，切线方程为2x₀x-2y-x₀²=0，由此能求出倾斜角取值范围．

解答：解：（1）过P作x轴垂线且垂足为N，由题意可知|PM|-|PN|=

1

2

而y≥0，∴|PN|=y，∴

x2+(y- 1 2 )2

=y+

1

2

化简得x²=2y（y≥0）为所求的方程．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立

y=kx+1 x2=2y

，
得x²-2kx-2=0，
∴x₁+x₂=2k，
x₁x₂=-2|AB|=

1+k2

(x1+x2)2-4x1x2

=

1+k2

4k2+8

=2

6

，
∴k⁴+3k²-4=0，
而k²≥0，
∴k²=1，
∴k=±1．
（3）因为Q（x₀，y₀）在曲线C上，
∴x₀²=2y₀，
∴切点Q(x0，

1

2

x

2 0

)．
又y=

1

2

x2求导得y'=x，
∴切线斜率k=x₀
则切线方程为y-

1

2

x

2 0

=x0(x-x0)，
即2x₀x-2y-x₀²=0为所求切线方程，
又x₀≤1，
∴切线斜率k≤1，
∴倾斜角取值范围为[0，

π

4

]∪(

π

2

，π)．

点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，综合性强，是高考的重点，易错点是知识体系不牢固．本题具体涉及到轨迹方程的求法及直线与抛物线的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．