Question

设点P（x，y）（y≥0）为平面直角坐标系xOy中的一个动点（其中O为坐标原点），点P到定点M(0，

1

2

)的距离比点P到x轴的距离大

1

2

．
（1）求点P的轨迹方程；
（2）若直线l：y=kx+1与点P的轨迹相交于A、B两点，且|AB|=2

6

，求k的值．
（3）设点P的轨迹是曲线C，点Q（1，y₀）是曲线C上的一点，求以Q为切点的曲线C 的切线方程．

Answer 1

分析：（1）过P作x轴的垂线且垂足为N，由题意可知|PM|-|PN|=

1

2

．由y≥0，|PN|=y，知

x2+(y- 1 2 )2

=y+

1

2

，由此能求出点P的轨迹方程．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立

y=kx+1 x2=2y

得x²-2kx-2=0，所以x₁+x₂=2k，x₁x₂=-2|AB|=

1+k2

(x1+x2)2-4x1x2

=

1+k2

4k2+8

=2

6

，由此能求出k的值．
（3）因为Q（1，y₀）是曲线C上一点，所以x₀²=2y₀，y0=

1

2

，所以切点为(1，

1

2

)，由y=

1

2

x2求导得y'=x，由此能求出以Q为切点的曲线C 的切线方程．

解答：解：（1）过P作x轴的垂线且垂足为N，
由题意可知|PM|-|PN|=

1

2

，
而y≥0，∴|PN|=y，
∴

x2+(y- 1 2 )2

=y+

1

2

，
化简得x²=2y（y≥0）为所求的方程．…（4分）
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立

y=kx+1 x2=2y

得x²-2kx-2=0，
∴x₁+x₂=2k，
x₁x₂=-2|AB|=

1+k2

(x1+x2)2-4x1x2

=

1+k2

4k2+8

=2

6

∴k⁴+3k²-4=0而k²≥0，
∴k²=1，
∴k=±1．…（8分）
（3）因为Q（1，y₀）是曲线C上一点，
∴x₀²=2y₀，
∴y0=

1

2

，
∴切点为(1，

1

2

)，
由y=

1

2

x2求导得y'=x，
∴当x=1时k=1，
则直线方程为y-

1

2

=(x-1)，
即2x-2y-1=0是所求切线方程．…（14分）

点评：通过几何量的转化考查用待定系数法求曲线方程的能力，通过直线与圆锥曲线的位置关系处理，考查学生的运算能力．通过向量与几何问题的综合，考查学生分析转化问题的能力，探究研究问题的能力，并体现了合理消元，设而不解的代数变形的思想．