Question

如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱长都为2，D为CC₁中点．
（Ⅰ）求证：AB₁⊥平面A₁BD；
（Ⅱ）求直线B₁C₁与平面A₁BD所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）取BC中点E，连接B₁E，证明BD⊥平面AEB₁，得BD⊥AB₁，由直线与平面垂直的判定定理，可得所证结论．
（Ⅱ）设AB₁∩A₁B=O，延长BD，B₁C₁，相交于F，连接OF，则∠OFB₁为直线B₁C₁与平面A₁BD所成角，利用正弦函数可得结论．

解答：（Ⅰ）证明：由正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱长都相等可知：AB₁⊥A₁B
如图，取BC的中点E，连接B₁E，则Rt△BCD≌Rt△B₁BE
∴∠BB₁E=∠CBD
∴∠CBD+∠BEB₁=∠BB₁E+∠BEB₁=90°
∴BD⊥B₁E
由平面ABC⊥平面BCC₁B₁，平面ABC∩平面BCC₁B₁=BC，且AE⊥BC得，AE⊥平面BCC₁B₁
∴AE⊥BD
∵B₁E?平面AEB₁，AE?平面AEB₁，AE∩B₁E=E
∴BD⊥平面AEB₁
∴BD⊥AB₁
∵A₁B?平面A₁BD，BD?平面A₁BD，A₁B∩BD=B
∴AB₁⊥平面A₁BD；
（Ⅱ）解：设AB₁∩A₁B=O，延长BD，B₁C₁，相交于F，连接OF，则∠OFB₁为直线B₁C₁与平面A₁BD所成角．
∵正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱长都为2，D为CC₁中点，
∴OB1=

2

，B₁F=4
∴sin∠OFB₁=

OB1

B1F

=

2

4

．

点评：本题考查线面垂直，考查线面角，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，属于中档题．