Question

设双曲线C：

x2

a2

-y2=1（a＞0）与直线l：x+y=1相交于两个不同的点A、B．
（1）求双曲线C的离心率e的取值范围：
（2）设直线l与y轴的交点为P，且P分有向线段

AB

的比为-

5

12

，求实数a的值．

Answer 1

分析：（1）由C与l相交于两个不同的点，故联立直线与双曲线方程后所得的方程组有两个不同的实数解，进而可得a的取值范围，代入e=

c

a

=

a2+b2

a

可得双曲线C的离心率e的取值范围：
（2）由P分有向线段

AB

的比为-

5

12

，可得

PA

=

5

12

PB

，设出A，B两点坐标，利用韦达定理构造关于a的方程，解方程可得a的值．

解答：解：（1）由C与l相交于两个不同的点，故知方程组

x2 a2 -y2=1 x+y=1.

有两个不同的实数解．消去y并整理得
（1-a²）x²+2a²x-2a²=0．①…（2分）
所以

1-a2≠0. 4a4+8a2(1-a2)＞0.

解得0＜a＜

2

且a≠1．…..（5分）
∵双曲线的离心率e=

c

a

=

a2+b2

a

=

a2+1

a

=

1 a2 +1

0＜a＜

2

且a≠1，
∴e＞

6

2

且e≠

2

…（8分）
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（0，1）
∵P分有向线段

AB

的比为-

5

12

∴

PA

=

5

12

PB

，
∴(x1，y1-1)=

5

12

(x2，y2-1)．由此得x1=

5

12

x2…．（9分）
由于x₁，x₂都是方程①的根，且1-a²≠0，
∴x1+x2=-

2a2

1-a2

，x1x2=-

2a2

1-a2

…（10分）
∴

17

12

x2=-

2a2

1-a2

，

5

12

x

2 2

=-

2a2

1-a2

消去x₂得：-

2a2

1-a2

=

289

60

又∵a＞0
解得a=

17

13

…..（15分）

点评：本题考查的知识点是直线与圆锥曲线的综合问题，双曲线的简单性质，是高考的压轴题型，运算量大，综合的知识点多，难度较大．