Question

5．已知数集A={a，b，c，d}，且a，b，c，d都是实数，数组x，y，z，t是集合A中四个元素的某一排列．设m=（x-y）²+（y-z）²+（z-t）²+（t-x）²的所有值构成集合B，那么集合B的元素个数是（　　）

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． 6

Answer 1

分析 由m=（x-y）²+（y-z）²+（z-t）²+（t-x）²=2（x²+y²+z²+t²）-2（x+z）（y+t）可得：（x+z）（y+t）取不同值的个数，即为B中元素个数，进而利用排列组合公式得到答案．

解答 解：∵m=（x-y）²+（y-z）²+（z-t）²+（t-x）²
=2（x²+y²+z²+t²）-2（xy+yz+zt+tx），
=2（x²+y²+z²+t²）-2（x+z）（y+t），
故（x+z）（y+t）取不同值的个数，即为B中元素个数，
而数组x，y，z，t是集合A中四个元素的某一排列．
故共有$\frac{{C}_{4}^{2}}{{A}_{2}^{2}}$=3个，
故选：B．

点评 本题考查的知识点是集合中元素个数的最值，其中正确理解（x+z）（y+t）取不同值的个数，即为B中元素个数，是解答的关键．