Question

设函数f（x）=-x³+3x+2，若不等式f（3+2sin θ）＜m对任意θ∈R恒成立，则实数m的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：转化为求函数f（x）=-x³+3x+2在区间[1，5]上的最大值问题解决即可．

解答： 解：令x=3+2sin θ，则由-1≤sinθ≤1得，1≤x≤5，
∵f′（x）=-3x²+3=-3（x+1）（x-1），
∴当1≤x≤5时，f′（x）≤0，∴f（x）在[1，5]上是减函数，
∴当x=1时，f（x）_max=f（1）=4，
∴不等式f（3+2sin θ）＜m对任意θ∈R恒成立，只要m＞4即可．
故答案为：（4，+∞）．

点评：本题考查学生恒成立问题的转化思想及利用导数求函数的最值知识，属中档题．