Question

10．已知f（x）=$\frac{b-{2}^{x}}{a+{2}^{x+1}}$是定义在R上的奇函数．
（1）求f（x）的解析式．
（2）若不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）≤0对$t∈[{\frac{1}{4}，+∞}）$恒成立，求k的最大值．
（3）证明：对任意x，c∈R，不等式f（x）＜c²-3c+3恒成立．

Answer 1

分析 （1）由定义域为R的函数f（x）=$\frac{b-{2}^{x}}{a+{2}^{x+1}}$是奇函数．可得f（0）=0，f（-1）+f（1）=0，联立即可解得a，b；
（2）由（1）得：f（x）=$\frac{1}{{2}^{x}+1}$-$\frac{1}{2}$．利用y=2^x在R上单调递增，可得f（x）在R上单调递减．再利用奇偶性可得：不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）≤0对$t∈[{\frac{1}{4}，+∞}）$恒成立?f（t²-2t）≤-f（2t²-k）=f（k-2t²）对$t∈[{\frac{1}{4}，+∞}）$恒成立，即可解出．
（3）对任何实数x，c都有f（x）＜c²-3c+3成立?f（x）_max＜（c²-3c+3）_min，分别求出即可．

解答 解：（1）∵定义域为R的函数f（x）=$\frac{b-{2}^{x}}{a+{2}^{x+1}}$是奇函数．
∴f（0）=$\frac{-1+b}{2+a}$=0，解得b=1．
令x=1，则f（-1）+f（1）=$\frac{1-{2}^{-1}}{1+a}+\frac{1-2}{4+a}$=0，解得a=2．
∴a=2，b=1．
（2）f（x）=$\frac{1-{2}^{x}}{{2}^{x+1}+2}$=$\frac{1}{{2}^{x}+1}$-$\frac{1}{2}$．
∵y=2^x在R上单调递增，∴y=$\frac{1}{{2}^{x}+1}$在R上单调递减，
∴f（x）在R上单调递减．
由不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）≤0对$t∈[{\frac{1}{4}，+∞}）$恒成立，
?f（t²-2t）≤-f（2t²-k）=f（k-2t²）对$t∈[{\frac{1}{4}，+∞}）$恒成立．
∴t²-2t≥k-2t²对$t∈[{\frac{1}{4}，+∞}）$恒成立．
化为k≤3t²-2t对$t∈[{\frac{1}{4}，+∞}）$恒成立．
∵3t²-2t=$3（t-\frac{1}{3}）^{2}-\frac{1}{3}$，
∴k≤-$\frac{1}{3}$．
（3）证明：f（x）=$\frac{1}{{2}^{x}+1}$-$\frac{1}{2}$．
∵2^x＞0，2^x+1＞1，
∴-$\frac{1}{2}$＜f（x）＜$\frac{1}{2}$．
c²-3c+3=（c-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{3}{4}$≥$\frac{3}{4}$，
存在任意实数c∈R，使得c²-3c+3≥$\frac{3}{4}$＞$\frac{1}{2}$＞f（x）．
∴对任何实数x，c都有f（x）＜c²-3c+3成立．

点评 本题考查了函数的奇偶性与单调性、指数函数的运算性质，考查了恒成立问题的等价转化方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．