Question

已知命题p：函数f（x）=（2a-6）^x在R上是减函数，命题q：关于x的方程x²-3ax+2a²+1=0的两个实根均大于0，若p∨q为真，p∧q为假，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：分别求到当命题p，q为真时对应的集合，而由题意可知：p真q假或p假q真，分别求解不等式组的解集即可．

解答：解：若p为真，则f（x）=（2a-6）^x在R上单调递减，
∴0＜2a-6＜1，∴3＜a＜

7

2

；
若q为真，令f（x）=x²-3ax+2a²+1，则应满足

△=(-3a)2-4(2a2+1)≥0 - -3a 2 ＞0 f(0)=2a2+1＞0

，化简得

a≥2，或a≤-2 a＞0 a∈R

，
解得a≥2，又由题意应有p真q假或p假q真，

①若p真q假，则

3＜a＜ 7 2 a＜2

，无解；
②若p假q真，则

a≤3，或a≥ 7 2 a≥2

，解得2≤a≤3，或a≥

7

2

，
所以实数a的取值范围是：2≤a≤3，或a≥

7

2

点评：本题考查复合命题的真假，涉及指数函数的单调性和一元二次方程根的分布，属中档题．