Question

设函数f(x)=

3 3

2

sinωx+

3

2

cosωx (ω＞0)，x∈R，且以

π

2

为最小正周期．
（Ⅰ）求f（x）的最大值，并求能使f（x）取得最大值时的x的集合．
（Ⅱ）已知f(

α

4

+ 

π

12

)=

9

5

，求sinα的值．

Answer 1

分析：（I）首先用辅助角公式将f（x）整理为：f(x)=3sin(ωx+

π

6

)，利用正弦函数关于周期的公式可以算出ω=4．再用正弦函数的最值及相应最值点x取值的结论得：当4x+

π

6

=2kπ+

π

2

时，函数取到最大值3，并由此可得取最大值时x的集合．
（II）根据（I）的表达式，将x=

α

4

+

π

12

代入，结合正余弦的诱导公式得cosα=

3

5

，最后根据同角三角函数的平方关系得到sina的值．

解答：解：（Ⅰ）整理得：f(x)=

3 3

2

sinωx+

3

2

cosωx =3(

3

2

sinωx+

1

2

cosωx)
而

3

2

sinωx+

1

2

cosωx=sinωxcos

π

6

+cosωxsin

π

6

=sin(ωx+

π

6

)
∴f(x)=3sin(ωx+

π

6

)
∵f（x）的周期为

π

2

，
∴

2π

ω

=

π

2

⇒ω=4．
故f（x）=3sin（4x+

π

6

）．…（4分）
当4x+

π

6

=2kπ+

π

2

，即x=

kπ

2

+

π

12

，（k∈Z）时，y_max=3．
此时x的集合为{x|x=

kπ

2

+

π

12

，k∈Z}．…（8分）
（Ⅱ）∵f（

α

4

+

π

12

）=3sin（α+

π

2

）=3cosα，
∴3cosα=

9

5

，即cosα=

3

5

．…（10分）
∴sinα=±

1-cos 2α

=±

4

5

．…（12分）

点评：本题考查了三角函数中的恒等变换应用，着重考查了辅助角公式，三角函数的图象与性质和同角三角函数的关系等等，属于中档题．