Question

【题目】在直四棱柱中，底面是边长为6的正方形，点在线段上，且满足，过点作直四棱柱外接球的截面，所得的截面面积的最大值与最小值之差为，则直四棱柱外接球的半径为（ ）

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】C

【解析】

先根据直四棱柱的特征，得到其外接球的球心位于直四棱柱的中心，记作，过点向底面作垂线，垂足为，连接，取中点为，连接，，，设，

根据题意，先得到外接球半径，求出，根据球的特征，分别求出截面面积的最大值与最小值，列出方程求解，得出，即可求出半径.

因为四棱柱是直棱柱，且底面是正方形，

所以其外接球的球心位于直四棱柱的中心，记作，

过点向底面作垂线，垂足为，则，

连接，因为底面是边长为6的正方形，所以点为的中点，

取中点为，连接，，，

设，则，所以外接球的半径为，

因为点在线段上，且满足，则，

又，所以，

因为直四棱柱中，侧面，，所以侧面，

所以，又底面，所以，

又，所以，

则；

根据球的特征，过点作直四棱柱外接球的截面，

当截面过球心时，截面圆面积最大，此时截面面积为；

当截面时，此时截面圆半径为，

所以此时截面圆面积为；

又截面面积的最大值与最小值之差为，

所以，

因此，即，所以.

故选：C.