【题目】如图所示,已知点P在正方体ABCD-A′B′C′D′的对角线BD′上,∠PDA=60°.
(1)求DP与CC′所成角的大小.
(2)求DP与平面AA′D′D所成角的大小.
【答案】(1)45°.(2)30°.
【解析】
(1)以D为原点,DA,DC,DD′分别为x轴,y轴,z轴正方向建立空间直角坐标系,连接BD,B′D′.在平面BB′D′D中,延长DP交B′D′于H. 设=(m,m,1)(m>0), 由<
,
>=60°,利用坐标运算可得m,进而可得cos<
,
>,从而得解;
(2)平面AA′D′D的一个法向量是=(0,1,0),由cos<
,
>即可得解.
(1)如图所示,以D为原点,DA,DC,DD′分别为x轴,y轴,z轴正方向建立空间直角坐标系,
设DA=1.则=(1,0,0),
=(0,0,1).连接BD,B′D′.在平面BB′D′D中,延长DP交B′D′于H.
设=(m,m,1)(m>0),
由已知<,
>=60°,由
·
=|
||
|cos<
,
>,可得2m=
.解得m=
,
所以=
.
因为cos<,
>=
=
所以<,
>=45°,即DP与CC′所成的角为45°.
(2)平面AA′D′D的一个法向量是=(0,1,0),
因为cos<,
>=
=
所以<,
>=60°,可得DP与平面AA′D′D所成的角为30°.
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【题目】已知正项数列的前
项和为
,数列
满足
.
(1)求数列的通项公式;
(2)数列满足
,它的前
项和为
,
(ⅰ)求;
(ⅱ)若存在正整数,使不等式
成立,求实数
的取值范围.
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【题目】已知两个不共线的向量,
夹角为
,且
,
,为正实数.
(1)若与
垂直,求
的值;
(2)若,求
的最小值及对应的x的值,并指出此时向量
与
的位置关系.
(3)若为锐角,对于正实数m,关于x的方程
两个不同的正实数解,且
,求m的取值范围.
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【题目】如图,货轮在海上B处,以50海里/时的速度沿方位角(从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角)为155o的方向航行,为了确定船位,在B点处观测到灯塔A的方位角为125o.半小时后,货轮到达C点处,观测到灯塔A的方位角为80o.求此时货轮与灯塔之间的距离(答案保留最简根号).
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【题目】下列叙述错误的是( )
A.已知直线和平面
,若点
,点
且
,
,则
B.若三条直线两两相交,则三条直线确定一个平面
C.若直线不平行于平面
,且
,则
内的所有直线与
都不相交
D.若直线和
不平行,且
,
,
,则l至少与
,
中的一条相交
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【题目】已知某运动员每次投篮命中的概率是40%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率:先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数,指定l,2,3,4表示命中,5,6,7,8,9,0表示不命中;再以每三个随机数为一组,代表三次投篮的结果.经随机模拟产生了如下10组随机数:907 966 191 925 271 431 932 458 569 683.
据此估计,该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为
A. B.
C.
D.
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