【题目】如图,在四棱锥中,底面
为平行四边形,已知
,
,
于
.
(1)求证: ;
(2)若平面平面
,且
,求二面角
的余弦值.
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】试题分析:(1)连接,证明
,
∴,∵
,∴
,由此可证
平面
,即可证明
.
(2)由平面
,平面
平面
,
所以,
,
两两垂直,以
为原点,
,
,
分别为
轴,
轴,
轴建立空间直角坐标系,如图所示.根据空间向量求面面角的方法即可求二面角
的余弦值.
(1)连接,
∵,
,
是公共边,
∴,
∴,
∵,∴
,
又平面
,
平面
,
,
∴平面
,
又平面
,
∴.
(2)
由平面
,平面
平面
,
所以,
,
两两垂直,以
为原点,
,
,
分别为
轴,
轴,
轴建立空间直角坐标系,如图所示.
因为,
,
,
所以,
,
,
则,
,
,
,
,
.
设平面的法向量为
,
则,即
,令
,则
,
又平面的一个法向量为
,
设二面角所成的平面角为
,
则
,
显然二面角是锐角,故二面角
的余弦值为
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】随着人口老龄化的到来,我国的劳动力人口在不断减少,“延迟退休”已经成为人们越来越关注的话题,为了解公众对“延迟退休”的态度,某校课外研究性学习小组在某社区随机抽取了50人进行调查,将调查情况进行整理后制成下表:
年龄 | [20,25) | [25,30) | [30,35) | [35,40) | [40,45) |
人数 | 4 | 5 | 8 | 5 | 3 |
年龄 | [45,50) | [50,55) | [55,60) | [60,65) | [65,70) |
人数 | 6 | 7 | 3 | 5 | 4 |
经调查年龄在[25,30),[55,60)的被调查者中赞成“延迟退休”的人数分别是3人和2人.现从这两组的被调查者中各随机选取2人,进行跟踪调查.
(I)求年龄在[25,30)的被调查者中选取的2人都赞成“延迟退休”的概率;
(II)若选中的4人中,不赞成“延迟退休”的人数为,求随机变量
的分布列和数学期望.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知椭圆的一个焦点坐标为
.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)已知点,过点
的直线
(与
轴不重合)与椭圆
交于
两点,直线
与直线
相交于点
,试证明:直线
与
轴平行.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图所示,已知点P在正方体ABCD-A′B′C′D′的对角线BD′上,∠PDA=60°.
(1)求DP与CC′所成角的大小.
(2)求DP与平面AA′D′D所成角的大小.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马,将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.
如图,在阳马中,侧棱
底面
,且
,过棱
的中点
,作
交
于点
,连接
(Ⅰ)证明:.试判断四面体
是否为鳖臑,若是,写出其每个面的直角(只需写
出结论);若不是,说明理由;
(Ⅱ)若面与面
所成二面角的大小为
,求
的值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知直线:
,半径为2的圆
与
相切,圆心
在
轴上且在直线
的右上方.
(1)求圆的方程;
(2)过点的直线与圆
交于
,
两点(
在
轴上方),问在
轴正半轴上是否存在定点
,使得
轴平分
?若存在,请求出点
的坐标;若不存在,请说明理由.
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