Question

【题目】随着生活水平的提高和人们对健康生活的重视，越来越多的人加入到健身运动中.国家统计局数据显示，2019年有4亿国人经常参加体育锻炼.某健身房从参与健身的会员中随机抽取100人，对其每周参与健身的天数和2019年在该健身房所有消费金额（单位：元）进行统计，得到以下统计表及统计图：

平均每周健身天数	不大于2	3或4	不少于5
人数（男）	20	35	9
人数（女）	10	20	6

若某人平均每周进行健身天数不少于5，则称其为“健身达人”.该健身房规定消费金额不多于1600元的为普通会员，超过1600元但不超过3200元的为银牌会员，超过3200元的为金牌会员.

（1）已知金牌会员都是健身达人，现从健身达人中随机抽取2人，求他们均是金牌会员的概率；

（2）能否在犯错误的概率不超过的前提下认为性别和是否为“健身达人”有关系？

（3）该健身机构在2019年年底针对这100位消费者举办一次消费返利活动，现有以下两种方案：

方案一：按分层抽样从普通会员、银牌会员和金牌会员中共抽取25位“幸运之星”，分别给予188元，288元，888元的幸运奖励；

方案二：每位会员均可参加摸奖游戏，游戏规则如下：摸奖箱中装有5张形状大小完全一样的卡片，其中3张印跑步机图案、2张印动感单车图案，有放回地摸三次卡片，每次只能摸一张，若摸到动感单车的总数为2，则获得100元奖励，若摸到动感单车的总数为3，则获得200元奖励，其他情况不给予奖励.规定每个普通会员只能参加1次摸奖游戏，每个银牌会员可参加2次摸奖游戏，每个金牌会员可参加3次摸奖游戏（每次摸奖结果相互独立）.

请你比较该健身房采用哪一种方案时，在此次消费返利活动中的支出较少，并说明理由.

附：，其中为样本容量.

	0.50	0.25	0.10	0.05	0.010	0.005
	0.455	1.323	2.706	3.841	6.636	7.879

Answer 1

【答案】(1)；(2) 不能在犯错误的概率不超过的前提下认为性别和是否为“健身达人”有关系;(3) 采用方案二时,在此次消费返利活动中的支出较少.

【解析】

(1)根据统计图与统计表分别求得金牌会员与健身达人的人数,再根据组合的方法求解从健身达人中随机抽取2人,他们均是金牌会员的概率即可.

(2)根据图表分别求得非健身达人与健身达人中男女的人数,再计算分析即可.

(3)先求得普通会员、银牌会员与金牌会员的人数,再分别计算方案一和方案二中的支出.方案一计算分层抽样的各层次人数计算总支出,方案二中先计算一次摸奖的奖励数学期望,再分析所有的总奖励数学期望,再比较方案一、二的支出即可.

(1)由题意得,健身达人共人,金牌会员人数有人.又金牌会员都是健身达人,故从健身达人中随机抽取2人,他们均是金牌会员的概率为.

(2)由图表可知,非健身达人男性有：人,健身达人男性有：人；

非健身达人女性有：人,健身达人女性有：人.

列出列联表有：

	非健身达人	健身达人	总人数
人数（男）	55	9	64
人数（女）	30	6	36
总人数	85	15	100

故.

故不能在犯错误的概率不超过的前提下认为性别和是否为“健身达人”有关系.

(3)由图,普通会员有人,银牌会员有人,金牌会员有人.

方案一：抽取的普通会员、银牌会员与金牌会员分别有,,人.故共支出元.

方案二：摸一次奖获得奖励的数学期望为.

故总支出的数学期望为.

故采用方案二时,在此次消费返利活动中的支出较少.