Question

【题目】设函数f（x）=（1﹣x2）ex ．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）当x≥0时，f（x）≤ax+1，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）因为f（x）=（1﹣x2）ex ， x∈R，
所以f′（x）=（1﹣2x﹣x2）ex ，
令f′（x）=0可知x=﹣1± ，
当x＜﹣1﹣ 或x＞﹣1+ 时f′（x）＜0，当﹣1﹣ ＜x＜﹣1+ 时f′（x）＞0，
所以f（x）在（﹣∞，﹣1﹣ ），（﹣1+ ，+∞）上单调递减，在（﹣1﹣ ，﹣1+ ）上单调递增；
（Ⅱ）由题可知f（x）=（1﹣x）（1+x）ex ． 下面对a的范围进行讨论：
①当a≥1时，设函数h（x）=（1﹣x）ex ， 则h′（x）=﹣xex＜0（x＞0），
因此h（x）在[0，+∞）上单调递减，
又因为h（0）=1，所以h（x）≤1，
所以f（x）=（1﹣x）h（x）≤x+1≤ax+1；
②当0＜a＜1时，设函数g（x）=ex﹣x﹣1，则g′（x）=ex﹣1＞0（x＞0），
所以g（x）在[0，+∞）上单调递增，
又g（0）=1﹣0﹣1=0，
所以ex≥x+1．
因为当0＜x＜1时f（x）＞（1﹣x）（1+x）2 ，
所以（1﹣x）（1+x）2﹣ax﹣1=x（1﹣a﹣x﹣x2），
取x0= ∈（0，1），则（1﹣x0）（1+x0）2﹣ax0﹣1=0，
所以f（x0）＞ax0+1，矛盾；
③当a≤0时，取x0= ∈（0，1），则f（x0）＞（1﹣x0）（1+x0）2=1≥ax0+1，矛盾；
综上所述，a的取值范围是[1，+∞）．
【解析】（Ⅰ）求出函数的导数，求出极值点，利用导函数的符号，判断函数的单调性即可．
（Ⅱ）化简f（x）=（1﹣x）（1+x）ex ． f（x）≤ax+1，下面对a的范围进行讨论：
①当a≥1时，②当0＜a＜1时，设函数g（x）=ex﹣x﹣1，则g′（x）=ex﹣1＞0（x＞0），推出结论；③当a≤0时，推出结果，然后得到a的取值范围．
【考点精析】解答此题的关键在于理解利用导数研究函数的单调性的相关知识，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减．