【题目】如图所示的几何体ABCDE中,平面EAB,,,,M是EC的中点.
求异面直线DM与BE所成角的大小;
求二面角的余弦值.
【答案】(1);(2).
【解析】
由题意,先证明直线AE、AB、AD两两垂直,再以点A为原点,AE、AB、AD所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,
求出向量,然后求出异面直线DM与BE所成的角;
求出平面BDM和平面BDA的法向量,再求二面角的余弦值.
平面EAB,
平面平面EAB,
又,且平面平面,
平面ABCD,
直线AE、AB、AD两两垂直,
以点A为原点,AE、AB、AD所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,
设,
0,,4,,4,,0,,0,,
是EC的中点,
2,,
,,
,
异面直线DM与BE所成角的大小为;
设二面角的大小为,
,,,
设平面BDM的一个法向量,
则,且,
所以,且,
令,则,
平面BDM的一个法向量,平面BDA的一个法向量
,
由图可知,为锐角,
二面角的余弦值为.
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【题目】如图,在多面体中,平面,四边形为正方形,四边形为梯形,且,,,.
(1)求直线与平面所成角的正弦值;
(2)线段上是否存在点,使得直线平面?若存在,求的值:若不存在,请说明理由.
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【题目】某仪器经过检验合格才能出厂,初检合格率为:若初检不合格,则需要进行调试,经调试后再次对其进行检验;若仍不合格,作为废品处理,再检合格率为.每台仪器各项费用如表:
项目 | 生产成本 | 检验费/次 | 调试费 | 出厂价 |
金额(元) | 1000 | 100 | 200 | 3000 |
(Ⅰ)求每台仪器能出厂的概率;
(Ⅱ)求生产一台仪器所获得的利润为1600元的概率(注:利润出厂价生产成本检验费调试费);
(Ⅲ)假设每台仪器是否合格相互独立,记为生产两台仪器所获得的利润,求的分布列和数学期望.
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【题目】已知椭圆C: (a>b>0),四点P1(1,1),P2(0,1),P3(–1, ),P4(1, )中恰有三点在椭圆C上.
(1)求C的方程;
(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A,B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1,证明:l过定点.
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【题目】给出三个命题:①直线上有两点到平面的距离相等,则直线平行平面;②夹在两平行平面间的异面直线段的中点的连线平行于这个平面;③过空间一点必有唯一的平面与两异面直线平行.正确的是( )
A. ②③B. ①②C. ①②③D. ②
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【题目】如图,已知椭圆的左、右焦点分别为、,点为椭圆上任意一点,关于原点的对称点为,有,且的最大值.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若是关于轴的对称点,设点,连接与椭圆相交于点,问直线与轴是否交于一定点.如果是,求出该定点坐标;如果不是,说明理由.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),将曲线上所有点的横坐标缩短为原来的,纵坐标缩短为原来的,得到曲线,在以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴的极坐标系中,直线的极坐标方程为.
(1)求曲线的极坐标方程及直线的直角坐标方程;
(2)设点为曲线上的任意一点,求点到直线的距离的最大值.
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【题目】已知函数f(x)=ex(x﹣a)2+4.
(1)若f(x)在(﹣∞,+∞)上单调递增,求a的取值范围;
(2)若x≥0,不等式f(x)≥0恒成立,求a的取值范围.
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