Question

【题目】选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），将曲线上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标缩短为原来的，得到曲线，在以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为.

（1）求曲线的极坐标方程及直线的直角坐标方程；

（2）设点为曲线上的任意一点，求点到直线的距离的最大值.

Answer 1

【答案】（1）曲线的极坐标方程为，直线的直角坐标方程；（2）.

【解析】

（1）由图象变换得到曲线的参数方程为（为参数），消去参数可得直角坐标方程，再化为极坐标方程即可．由直线的极坐标方程并结合互化公式可得直线的直角坐标方程．（2）设，根据点到直线的距离公式和三角函数的有关知识可得最大值．

（1）曲线的参数方程为（为参数），

根据图象变换可得曲线的参数方程为（为参数），

消去方程中的可得普通方程为，

将代入上式得．

所以曲线的极坐标方程．

直线的极坐标方程为，即，

将代入上式，得，

所以直线的直角坐标方程为．

（2）设 为曲线上的任意一点，

则点到直线的距离 ，

∴当时，有最大值，

∴点到直线的距离的最大值为．