Question

（本小题12分）设，函数的定义域为且，
当时有
（1）求；
（2）求的值；
（3）求函数的单调增区间．

Answer 1

（1）f(1/2)=sinα，f(1/4)=sin²α； (2)
(3) 单调增区间为……12分

(1)由,根据解题需要给x,y赋予不同的值求解即可.
(3)巧借助第（1）问求得的和的值， 令x=1，y=1/2，得f(3/4)="2" sinα-sin²α；令x=3/4，y=1/4，得f(1/2)=3sin²α-2 sin³α；根据,所以sinα=3sin²α-2 sin³α从而解出sinα=1/2，求出的值.
（1）对f[(x+y)/2]="f(x)sinα+(1-" sinα)f(y)，
令x=1，y=0，得f(1/2)=sinα；……2分
令x=1/2，y=0，得f(1/4)=sin²α；……4分
(2)令x=1，y=1/2，得f(3/4)="2" sinα-sin²α；
令x=3/4，y=1/4，得f(1/2)=3sin²α-2 sin³α；
两个f(1/2)相等，得sinα=3sin²α-2 sin³α，结合a∈(0，π/2)可解得sinα=1/2.……8分
(3)
单调增区间为……12分