Question

已知同一平面上的向量，，，满足如下条件：
①； 
②； 
③，
则的最大值与最小值之差是    ．

Answer 1

【答案】分析：根据②③判断出四边形ABCQ是正方形，并建立坐标系，找出A，B，C及Q的坐标，设出P的坐标，利用向量的坐标运算求出的坐标，由①和向量的模列出关系式，化简后可得到点P的轨迹方程，其轨迹方程为一个圆，找出圆心坐标和半径，根据平面几何知识即可得到|PQ|的最大值及最小值．
解答：解：根据②③画出图形如下：并以AB 为x轴，以AQ为y轴建立坐标系，

∵，∴，则四边形ABCQ是矩形，
∵，∴AC⊥BQ，则四边形ABCQ是正方形，
则A（0，0），B（2，0），Q（0，2），C（2，2），设P（x，y），
∴=（-x，-y）+（2-x，-y）=（2-2x，-2y），
∵，∴（2-2x）²+4y²=4，化简得（x-1）²+y²=1，
则点P得轨迹是以（1，0）为圆心，以1为半径的圆，
∴|PQ|是点Q（0，2）到圆（x-1）²+y²=1任一点的距离，
则|PQ|最大值是+1，最小值是-1，
即的最大值与最小值之差是2，
故答案为2．
点评：本题题考查了向量的线性运算的几何意义，数量积的性质，以及圆的标准方程和两点间的距离公式，解本题的关键是根据题意正确画出图形，并判断出特征，再建立合适的平面直角坐标系，找出动点P的轨迹方程，难度较大，体现了向量问题、几何问题和代数问题的转化．