Question

【题目】四个同样大小的球，，，两两相切，点是球上的动点，则直线与直线所成角的正弦值的取值范围为（ ）．

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】C

【解析】

三棱锥是正四面体，正四面体的对棱互相垂直，因此平移直线至位置，则，过、的平面截球得一个大圆，过作大圆的两条切线、.当点运动至切点时，最小，当点运动至切点时，最大.分别求出角的最大值和最小值,再求正弦值即可.

解：

由四个同样大小的球，，，两两相切，

则可以把，，，看成正四面体的四个顶点，

球的半径为棱长的一半，记球的半径为1，则正四面体的棱长为2．

平移直线至位置，过，的平面截球得一个大圆，

过作大圆的两条切线，，

由线面垂直易证，由图可知，

当点运动至切点时，最小，

当点运动至切点时，最大，

设，则，

在中，，则，

即直线与直线所成角，

则直线与直线所成角的正弦值的取值范围为.

故选：C．